So, jetzt habe ich es hinbekommen!
Weil ich mal optimistisch bin und glaube, dass nicht nur ich so auf dem Schlauch stehe:
Im API Manager / Dashboard auf "API AKTIVIEREN" klicken, hier in der Übersicht die Google Maps APIs suchen und dann die "JavaScript API“, „Geocoding API“ und „Static Maps API“ aktivieren.
Vielleicht habe ich es hier überlesen - bin jedenfalls froh, dass es endlich läuft.